Question

（2012•松江區(qū)三模）雙曲線

x2

4

-

y2

b2

=1的兩個焦點為F₁、F₂，點P在雙曲線上，若|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差數(shù)列，且|OP|=5，則b²=

3

．

Answer 1

分析：通過等差數(shù)列、雙曲線的定義及余弦定理推出2|OP|²=8+6c²．利用|OP|=5，求出b的值．

解答：解：由題意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差數(shù)列可知，2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
即4c=|PF₁|+|PF₂|，
由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=16，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=8…①
設(shè)∠POF₁=θ，則∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化簡得：2|OP|²=8+6c²．而8+6c²=32+6b²
因為|OP|=5，所以32+6b²=50．
所以b²=3．
故答案為：3．

點評：本題考查雙曲線的定義，余弦定理以及等比數(shù)列的應(yīng)用，是有難度的綜合問題，考查分析問題解決問題的能力．