Question

15．已知函數(shù)f（x）=3^x-2x，求證：對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，均有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}≥f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的函數(shù)解析式，利用二次求導(dǎo)，分析函數(shù)的凸凹性，進(jìn)而可得答案．

解答 證明：∵函數(shù)f（x）=3^x-2x，
∴f′（x）=ln3•3^x-2，
∴f″（x）=ln²3•3^x，
∵f″（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）為凹函數(shù)，
故對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，均有$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}≥f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的凸凹性，其中熟練掌握函數(shù)凸凹性與二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．