Question

18.如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點，為棱上的點，二面角為.

（I）證明：；

（II）求的長，并求點到平面的距離.

Answer 1

（I）證明：連結CD.

∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴CC₁⊥平面ABC，

∴CD為C₁D在平面ABC內(nèi)的射影.

∵△ABC中，AC=BC，D為AB中點，

∴AB⊥CD，

∴AB⊥C₁D，

∵A₁B₁∥AB，

∴A₁B₁⊥C₁D.                                                                                   

（II）解法一：過A點作CE的平行線，交ED的延長線于F，連結MF.

∵D、E分別為AB、BC的中點，

∴DE∥AC，

又∵AF∥CE，CE⊥AC，

∴AF⊥DE.

∵MA⊥平面ABC.

∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影,

∴MF⊥DE,

∴∠MFA為二面角M—DE—A的平面角，∠MFA=30°.

在Rt△MAF中，AF=BC=，∠MFA=30°，

∴AM=.                                                                            

作AG⊥MF，垂足為G.

∵MF⊥DE,AF⊥DE,

∴DE⊥平面AMF，

∴平面MDE⊥平面AMF，

∴AG⊥平面MDE.

在Rt△GAF中, ∠GFA=30°,AF=,

∴AG=,即A到平面MDE的距離為.

∵CA∥DE, ∴CA∥平面MDE.

∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等,為.             

解法二：過點A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連接MF，

∵D、E分別為AB、CB的中點，

∴DE∥AC，

又∵AF∥CE，CE⊥AC，

∴AF⊥DE.

∵MA⊥平面ABC,

∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影,

∴MF⊥DE,

∴∠MFA為二面角M—DE—A的平面角，∠MFA=30°.

在Rt△MAF中，AF=，∠MFA=30°，

∴AM=a.                                                                                    

設C到平面MDE的距離為h.

∵,

∴

S_△CDE=

S_△MDE=,

∴

∴h=,即C到平面MDE的距離為.