Question

設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和.

(1)若{a_n}是等差數(shù)列,推導(dǎo)S_n的計(jì)算公式;

(2)若a₁=1,q≠0,且對所有正整數(shù)n,有S_n=.判斷{a_n}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解:(1)設(shè){a_n}的公差為d,

則S_n=a₁+a₂+…+a_n

=a₁+(a₁+d)+…+[a₁+(n-1)d],

又S_n=a_n+(a_n-d)+…+[a_n-(n-1)d],

∴2S_n=n(a₁+a_n),

∴S_n=.

(2)當(dāng)n=1時(shí),S₁=1.

當(dāng)n=2時(shí),S₂==1+q,a₁+a₂=1+q,a₂=q.

當(dāng)n=3時(shí),S₃==1+q+q²,a₁+a₂+a₃=1+q+q²,a₃=q²;

初步斷定數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列.

證明如下:

∵S_n=,

∴a_n+1=S_n+1-S_n=-

==qⁿ.

∵a₁=1,q≠0,

∴當(dāng)n≥1時(shí),有==q,

因此,{a_n}是首項(xiàng)為1且公比為q的等比數(shù)列.