Question

10．一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且存在內(nèi)切球，則該三棱柱的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為5：1．

Answer 1

分析 設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，當(dāng)球內(nèi)切于正三棱柱時(shí)，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為，當(dāng)正三棱柱外接球時(shí)，球的球心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的圓心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出該三棱柱的外接球與內(nèi)切球的表面積之比．

解答 解：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，
當(dāng)球外切于正三棱柱時(shí)，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，R₁²=$\frac{1}{12}{a}^{2}$，
故正三棱柱的高為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
當(dāng)正三棱柱外接球時(shí)，球的圓心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的球心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，R₂²=$（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}$=$\frac{5}{12}{a}^{2}$，
∴該三棱柱的外接球與內(nèi)切球表面積之比為$\frac{5}{12}{a}^{2}$：$\frac{1}{12}{a}^{2}$=5：1．
故答案為：5：1．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，是常考題型，求內(nèi)切球與外接球的半徑是本題的關(guān)鍵．