Question

9．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，2），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，cos²x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C和邊a，b，c滿足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求邊c．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運算以及二倍角公式，化簡求出f（x），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出值域；
（2）先求出A的大小，再根據(jù)正弦余弦定理即可求出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，2），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，cos²x），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1≤3，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，3]；
（2）∵f（A）=2，
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
∴2A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$，或2A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴A=kπ，（舍去），A=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinC，由正弦定理可得b=2c，
∵a=2，由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，
∴3c²=4，
解得c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積德運算，三角函數(shù)的化簡求值，正弦余弦定理，屬于中檔題．