Question

如圖，以

3

2

為離心率的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A和B，點(diǎn)P是橢圓位于x軸上方的一點(diǎn)，且△PAB的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是橢圓位于x軸下方的一點(diǎn)，直線AP、BQ的斜率分別為k₁，k₂，若k₁=7k₂，設(shè)△BPQ與△APQ的面積分別為S₁，S₂，求S₁-S₂的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

c a = 3 2 ab=2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線斜率公式能求出S₁-S₂的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵以

3

2

為離心率的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A和B，
點(diǎn)P是橢圓位于x軸上方的一點(diǎn)，且△PAB的面積最大值為2，
∴

c a = 3 2 ab=2 a2=b2+c2

，（2分）
解得a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y²=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，
得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，（5分）
△=4m²t²-4m²t²-16t²+16m²+64=-16t²+16m²+64，
∵A（-2，0），B（2，0），直線AP、BQ的斜率分別為k₁，k₂，
∴k₁=

y1

x1+2

，k₂=

y2

x2-2

，
由k₁=7k₂，得

y1

x1+2

=

7y2

x2-2

，
∴

y12(x2-2)2

y12(x1+2)2

=49，∴

(1- x12 4 )(x2-2)2

(1- x22 4 )(x1+2)

=49，（7分）
∴

(2-x1)(2-x2)

(2+x1)(2+x2)

=49，∴12x₁x₂+25（x₁+x₂）+48=0，①
x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=

4(t2-m2)

m2+4

，
x₁+x₂=（my₁+t）+（my₂+t）=

8t

m2+4

，
代入①得6t²+25t+24=0，得t=-

3

2

，或t=-

8

3

（是增根，舍去），（9分）
∴

y1+y2= 3m m2+4 y1y2= - 7 4 m2+4

，（10分）
所以|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

16m2+28

(m2+4)2

=-36（

1

m2+4

）²+16×

1

m2+4

=-36（

1

m2+4

-

2

9

）²+

16

9

≤

16

9

，
當(dāng)m²=

1

2

時最大值．（11分）
∴S₁-S₂=

1

2

×3×|y1-y2|=

3

2

×

16 9

=≤2，
∴S₁-S₂的最大值為2．（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩個三角形面積之差的最大值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．