Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，側(cè)面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M為PB的中點．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面CDM；
（Ⅱ）求二面角D-MC-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取DC中點O，連結(jié)PO，則PO⊥底面ABCD，以O(shè)為原點，分別以O(shè)A，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，由

PA

•

DM

=0，

PA

•

DC

=0，利用向量法能證明PA⊥平面DNC．
（Ⅱ）求出平面BMC的一個法向量和平面CDM的法向量，由此利用向量法能求出二面角D-MC-B的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：取DC中點O，連結(jié)PO，
∵側(cè)面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∵底面ABCD為菱形，且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，OA⊥DC，
以O(shè)為原點，分別以O(shè)A，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（

3

，0，0），P（0，0，

3

），B（

3

，2，0），
C（0，1，0），D（0，-1，0），∴M（

3

2

，1，

3

2

），
∴

DM

=（

3

2

，2，

3

2

），

PA

=（

3

，0，-

3

），

DC

=（0，2，0），
∴

PA

•

DM

=0，

PA

•

DC

=0，
∴PA⊥DM，PA⊥DC，又DM∩DC=D，
∴PA⊥平面DNC．
（Ⅱ）解：

CM

=（

3

2

，0，

3

2

），

CB

=（

3

，1，0），
設(shè)平面BMC的一個法向量

n

=（x，y，z），
則

n • CM =x+z=0 n • CB = 3 x-y=0

，取x=1，得

n

=（-1，-

3

，1），
由（Ⅰ）知平面CDM的法向量為

PA

=（

3

，0，-

3

），
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n |•| PA |

=

-2 3

5 • 6

=-

10

5

，
由圖象得二面角D-MC-B是鈍角，
∴二面角D-MC-B的余弦值為-

10

5

．

點評：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．