Question

2．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．B=$\frac{π}{3}$
（1）若2sinA=sinC，求角A的大小
（2）若sinAsinC=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=3，求b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和差的正弦公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出，
（2）根據(jù)正弦定理和向量的數(shù)量積公式，計算即可．

解答 解：（1）B=$\frac{π}{3}$，2sinA=sinC，
∴2sinA=sin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$，
（2）根據(jù)正弦定理，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2r，
∵sinAsinC=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=3=$\frac{1}{2}$accos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{4}$ac=$\frac{1}{4}$2rsinA•2rsinC，
∴r=1，
∴b=2rsinB=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了解三角形的問題，關(guān)鍵是應(yīng)用正弦定理和兩角和差的正弦公式，屬于中檔題．