Question

已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0），過(guò)定點(diǎn)T（p，0）作兩條互相垂直的直線(xiàn)l₁，l₂，若l₁與拋物線(xiàn)交與P、Q，若l₂與拋物線(xiàn)交與M、N，l₁的斜率為k．某同學(xué)正確地已求出了弦PQ的中點(diǎn)為，請(qǐng)寫(xiě)出弦MN的中點(diǎn)    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立消元，利用根系關(guān)系解出兩根之和，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解出弦MN中點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：由已知l₁的斜率為k，互相垂直的直線(xiàn)l₁，l₂，
設(shè)直線(xiàn)l₂：y=-（x-p），代入y²=2px，消去y得x²-2（p+pk²）x+p²=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根系關(guān)系x₁+x₂=2（p+pk²），y₁+y₂═-（x₁-p）-（x₂-p）=-2pk，
則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（pk²+p，-pk）．
故應(yīng)填（pk²+p，-pk）．
點(diǎn)評(píng)：考查兩直線(xiàn)垂直的條件，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系，一元二次方程的根系關(guān)系．此類(lèi)題是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中一類(lèi)常見(jiàn)的題型．