Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx-ax²．
（1）若曲線y=f（x）過點P（1，-1），求曲線在點P處的切線方程；
（2）若f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點P在曲線上，滿足方程，可得a=1，求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程，可得切線方程；
（2）由題意可得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．即f′（x）=lnx+1-2ax≤0，且x＞0，運(yùn)用參數(shù)分離，得a≥$\frac{lnx+1}{2x}$，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）由題意知f（x）的圖象過點（1，-1），
所以ln1-a=-1，解得a=1，
則f（x）=xlnx-x²，f′（x）=lnx+1-2x，
切線斜率k=f′（1）=-1，
所以f（x）的圖象在點（1，-1）處的切線方程為y+1=-（x-1），
即為x+y=0；
（2）∵f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
即f′（x）=lnx+1-2ax≤0，且x＞0，得a≥$\frac{lnx+1}{2x}$，
令h（x）=$\frac{1+lnx}{2x}$，則h′（x）=$\frac{-2lnx}{4{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0．
∴h（x）在x=1有最大值，且h（x）_max=h（1）=$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范圍是a≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查不等式恒成立問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離，屬于中檔題．