Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（sinx，k），$\overrightarrow{c}$=（-2cosx，sinx-k）．
（1）當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，求|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|；
（2）若g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$，求當(dāng)k為何值時(shí)，g（x）的最小值為-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求得當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k），$\overrightarrow{c}$=（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-k），再由向量的加法運(yùn)算和模的公式，計(jì)算即可得到所求值；
（2）利用平面向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，代入g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$，整理后令t=sinx-cosx換元，化為關(guān)于t的函數(shù)，然后分類(lèi)討論求解使g（x）的最小值為-$\frac{3}{2}$的k值．

解答 解：（1）當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k），$\overrightarrow{c}$=（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-k），
可得$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即有|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$=1；
（2）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（2sinx，k+cosx），
g（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=-4sinxcosx+（k+cosx）（sinx-k）
=-3sinxcosx+k（sinx-cosx）-k²，
令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
則t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
且t²=sin²x+cos²x-2sinxcosx=1-2sinxcosx，
∴sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
∴g（x）=h（t）=-3•$\frac{1-{t}^{2}}{2}$+kt-k²=$\frac{3}{2}$t²+kt-$\frac{3}{2}$-k²．
對(duì)稱(chēng)軸為：t=-$\frac{k}{3}$，
①當(dāng)-$\frac{k}{3}$＜-$\sqrt{2}$，即k＞3$\sqrt{2}$時(shí)，[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]為增區(qū)間，
g（x）的最小值為h（-$\sqrt{2}$）=-3•（-$\frac{1}{2}$）-$\sqrt{2}$k-k²=-$\frac{3}{2}$，
解得k=$\frac{-\sqrt{2}±\sqrt{14}}{2}$
∵k＞3$\sqrt{2}$，∴此時(shí)無(wú)解；
②當(dāng)-$\sqrt{2}$≤-$\frac{k}{3}$≤$\sqrt{2}$，即-3$\sqrt{2}$≤k≤3$\sqrt{2}$時(shí)，
g（x）的最小值為h（-$\frac{k}{3}$）=$\frac{-9-6{k}^{2}-{k}^{2}}{6}$=-$\frac{3}{2}$，
得k=0∈[-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]；
③當(dāng)-$\frac{k}{3}$＞$\sqrt{2}$，即k＜-3$\sqrt{2}$時(shí)，區(qū)間[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]為減區(qū)間，
g（x）的最小值為h（$\sqrt{2}$）=3+$\sqrt{2}$k-$\frac{3}{2}$-k²=-$\frac{3}{2}$，解得k=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{14}}{2}$，
∵k＜-3$\sqrt{2}$，∴此時(shí)無(wú)解．
綜上所述得：當(dāng)k=0時(shí)，g（x）的最小值為-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的求法，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查計(jì)算能力，是中檔題．