Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=10，a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），則$\frac{a_n}{n}$的最小值為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 利用“累加求和”方法可得a_n，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a₁=10，a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+$（{a}_{n-1}-{a}_{{n}_{-2}}）$+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2+10
=2×$\frac{（n-1）n}{2}$+10
=n（n-1）+10．
∴$\frac{a_n}{n}$=n-1+$\frac{10}{n}$，
考察函數(shù)f（x）=x+$\frac{10}{x}$-1的單調(diào)性，
f′（x）=1-$\frac{10}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{10}）（x-\sqrt{10}）}{{x}^{2}}$，
∴函數(shù)f（x）在$（0，\sqrt{10}）$上單調(diào)遞減，在$（\sqrt{10}，+∞）$上單調(diào)遞增．
又f（3）=2+$\frac{10}{3}$=$\frac{16}{3}$，f（4）=3+$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$，
可知：當n=3時，f（n）取得最小值$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其求和公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．