Question

已知關于x的二次方程x²+2mx+2m+3=0（m∈R）有實數(shù)根，且兩根分別為x₁、x₂，
（1）求證：x₁+x₂+x₁•x₂的值為定值，并寫出這個定值；
（2）求（x₁+x₂）•x₁•x₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）由韋達定理：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，易求出x₁+x₂+x₁•x₂的值為定值
（2）由關于x的二次方程x²+2mx+2m+3=0（m∈R）有實數(shù)根，可得△≥0，進而求出m的取值范圍，由韋達定理求出（x₁+x₂）•x₁•x₂的表達式后，分析其單調性，進而可得其最大值．

解答：解：（1）由韋達定理知x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=2m+3--------（2分）
∴x₁+x₂+x₁•x₂=3為定值--------（1分）
（2）（x₁+x₂）•x₁•x₂=-2m•（2m+3）=-4（m+

3

4

）²+

9

4

--------（1分）
∵關于x的二次方程x²+2mx+2m+3=0（m∈R）有實數(shù)根，
∴△=4m²-4（2m+3）≥0
即m²-2m-3≥0
解得m≤-1，或m≥3--------（2分）
又∵（x₁+x₂）•x₁•x₂=-2m•（2m+3）=-4（m+

3

4

）²+

9

4

--------（1分）
在m≤-1時為增函數(shù)，m=-1時最大值為2，---（2分）
在m≥3時為減函數(shù)，m=3時最大值為-54，
∴（x₁+x₂）•x₁•x₂的最大值為2--------（2分）

點評：本題考查的知識點是韋達定理，函數(shù)的最值，熟練掌握韋達定理（一元二次方程根與系數(shù)的關系）是解答的關鍵．