Question

12．如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)（-2$\sqrt{5}$，0）為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，由|OP|=|OF|及橢圓的對(duì)稱性知，△PFF′為直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由橢圓的定義，得a²；由b²=a²-c²，得b²；然后根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，直接寫(xiě)出橢圓的方程．

解答 解：由題意可得c=2$\sqrt{5}$，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=$\sqrt{{FF′}^{2}{-PF}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}{-4}^{2}}$=8，
由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a²=36，
于是 b²=a²-c²=36-${（2\sqrt{5}）}^{2}$=16，
所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題屬容易題，主要考查了橢圓的定義及其幾何特征．對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)或圖形的幾何特征，列出關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程，這樣才能確定a²，b²，屬于中檔題．