Question

已知圓x²+y²=1在矩陣M=

a 0 0 b

（a＞0，b＞0）對(duì)應(yīng)的變換作用下得到橢圓x²+4y²=1，求矩陣M的特征值和特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算

專題：選作題,矩陣和變換

分析：確定點(diǎn)在矩陣M=

a 0 0 b

對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用變換前后的方程，求得矩陣M，列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．

解答： 解：設(shè)P（x₀，y₀）為圓上任意一點(diǎn)，在矩陣M=

a 0 0 b

對(duì)應(yīng)的變換下變成另一點(diǎn)Q（x，y），
則

x y

=

a 0 0 b

x0 y0

，即

x=ax0 y=bx0

 
又Q（x，y）滿足x²+4y²=1，則a2x02+4b2y02=1，
由x₀²+y₀²=1且P（x₀，y₀）的任意性及a＞0，b＞0，
故a=1，b=

1

2

，即矩陣M=

1 0 0 1 2

，…（5分）
矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-1 0 0 λ- 1 2

.

=（λ-1）（λ-

1

2

），
令f（λ）=0，解得M的特征值λ₁=1，λ₂=

1

2

，
從而求得對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為

α1

=

1 0

，

α2

=

0 1

．    …（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查矩陣的乘法及矩陣變換的性質(zhì)在圖形變化中的應(yīng)用，考查了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．