Question

19．已知：$\frac{1}{a_{n+1}}$=$\sqrt{3+\frac{1}{a_{n}^{2}}}$，（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求證：{$\frac{1}{a_{n}^{2}}$}為等差數(shù)列．
（2）求出通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）把已知的數(shù)列遞推式兩邊平方，即可證得{$\frac{1}{a_{n}^{2}}$}為等差數(shù)列；
（2）由（1）中的等差數(shù)列求出通項(xiàng)公式，進(jìn)一步可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 （1）證明：由$\frac{1}{a_{n+1}}$=$\sqrt{3+\frac{1}{a_{n}^{2}}}$，得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}=3+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
即$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}-\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=3$，
又a₁=1，∴$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}=1$，
則數(shù)列{$\frac{1}{a_{n}^{2}}$}為以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列；
（2）解：∵數(shù)列{$\frac{1}{a_{n}^{2}}$}為以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}=1+3（n-1）=3n-2$，
則${{a}_{n}}^{2}=\frac{1}{3n-2}$，又a_n＞0，
∴${a}_{n}=\sqrt{\frac{1}{3n-2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．