Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整數(shù)，且a₁＜a₂＜…＜a_n，對任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：n≤9；
（Ⅲ）對于n=9，試給出一個滿足條件的集合A。

Answer 1

（Ⅰ）證明：依題意有，
又，
因此，
可得，
所以，
即。
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，
又；
同理；
又，
所以均成立；
當(dāng)n≥10時，
取i=5，則，
可知n＜10；
又當(dāng)n≤9時，，
所以n≤9。
（Ⅲ）解：對于任意，
由可知，
，
因此，只需對成立即可．
因為，
因此可設(shè)，
由；
由；
由；
由；
所以滿足條件的一個集合。