Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)a=時(shí)，若存在x₁、x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），求x₂-x₁的最小值；
（3）若x∈[0，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（-x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再結(jié)合x(chóng)=0是F（x）的極值點(diǎn)即可求出a的值；（注意要代入驗(yàn)證）
（2）先由f（x₁）=g（x₂）把求x₂-x₁的最小值轉(zhuǎn)化為a=時(shí)函數(shù)3F（x）在[0，+∞）上的最小值，再結(jié)合第一問(wèn)求出的單調(diào)區(qū)間即可求出結(jié)論．
（3）先令h（x）=F（x）-F（-x），把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為h（x）≥0恒成立問(wèn)題，通過(guò)求其導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵F（X）=f（x）-g（x）=e^x+sinx-ax．
∴F′（x）=e^x+cosx-a．
因?yàn)閤-=0是F（x）的極值點(diǎn)，
所以F′（0）=e+cos0-a=0，所以a=2．
當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）=e^x+cosx-a＜1+1-2=0；
當(dāng)x≥0時(shí)，則φ（x）=e^x+cosx-a，φ′（x）=e^x-sinx≥1-1=0；
所以函數(shù)Fx）在[0，+∞）上遞增，從而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-2=0．
于是x=0是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)．
∴a=2符合題意．
（2）因?yàn)閍=，由f（x₁）=g（x₂）得x₂=3（e^x+sinx₁），
∴x₂-x₁=3（（e^x+sinx₁-x₁），所以求x₂-x₁的最小值即求a=時(shí)函數(shù)3F（x）在[0，+∞）上的最小值，
由（1）得F′（x）=e^x+cosx-a在[0，+∞）上遞增，
從而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-＞0，
所以F（x）在[0，+∞）上遞增，所以3F（x）≥3F（0）≥3．
∴x₂-x₁得最小值為3．
（3）令h（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，
則h′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a．
令t（x）=h′（x），t′（x）=e^x-e^-x-2sinx，
令s（x）=t′（x），s′（x）=e^x+e^-x-2cosx．
∵s′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥2-2=0，
∴t′（x）在[0，+∞）遞增，從而t′（x）≥t′（0）=0，
∴h′（x）在[0，+∞）遞增，從而h′（x）≥h′（0）=4-2a．
當(dāng)a≤2時(shí)，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）遞增，即h（x）≥h（0）=0
∴當(dāng)a≤2時(shí)，F(xiàn)（x）-F（-x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）時(shí)恒成立；
當(dāng)a＞2時(shí)，h′（x）＜0，
又∵h(yuǎn)′（x）在[0，+∞）遞增，
所以總存在x∈（0，+∞）使得在區(qū)間[0，x）上h′（x）＜0，
導(dǎo)致h（x）在[0，x）上遞減，而h（0）=0，
∴當(dāng)x∈（0，x）時(shí)，h（x）＜0
這與F（x）-F（-x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）時(shí)恒成立不符，
所以a＞2不合題意．
綜上：a的取值范圍：（-∞，2]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及函數(shù)恒成立問(wèn)題．是對(duì)導(dǎo)函數(shù)知識(shí)的綜合考察，特別是第三問(wèn)，涉及到三次求導(dǎo)，屬于難題．