Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，斜率為k的動直線l過點，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.

（1）若直線l與曲線C有兩個交點，求這兩個交點的中點P的軌跡關(guān)于參數(shù)k的參數(shù)方程；

（2）在條件（1）下，求曲線的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）把兩邊同時乘以，然后結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線的方程為，與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩個交點的中點的軌跡關(guān)于參數(shù)的參數(shù)方程；

（2）化參數(shù)方程為普通方程，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求得曲線的長度．

解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為.

設(shè)直線l的方程為，

設(shè)直線l與曲線C的交點為，，

聯(lián)立直線l與曲線C的方程得

解得，，

，，

設(shè)P的坐標(biāo)為，則，代入l的方程得.

故的參數(shù)方程為.

（2）由的參數(shù)方程得即.

如圖，圓C：圓心為，半徑為2，

圓D：圓心為，半徑為2，曲線為劣弧，

顯然，

所以的長度為.