Question

12．已知極坐標的極點在平面直角坐標的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同，若點P為曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上的動點，直線l的極坐標方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m＞2）
（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，直線l的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若曲線C上有且只有一點P到直線l的距離為2，求實數(shù)m的值和點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程．直線l的極坐標方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m＞2），展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）設(shè)與直線x-y-m=0平行且與橢圓相切的直線方程為x-y+t=0．把y=x+t代入橢圓方程可得：4x²+6tx+3t²-3=0，利用△=0，解得：t=±2．對t分類討論，利用點到直線的距離公式即可得出m．

解答 解：（1）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
直線l的極坐標方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m＞2），展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，化為直角坐標方程：x-y-m=0．
（2）設(shè)與直線x-y-m=0平行且與橢圓相切的直線方程為x-y+t=0．
把y=x+t代入橢圓方程可得：4x²+6tx+3t²-3=0，
令△=36t²-48（t²-1）=0，解得：t=±2．
當t=2時，方程為（2x+3）²=0，解得x=-$\frac{3}{2}$，代入橢圓方程可得：$\frac{3}{4}+{y}^{2}$=1，取y=$\frac{1}{2}$，可得切點P$（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，則$\frac{|-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-m|}{\sqrt{2}}$=2，解得m=-2±2$\sqrt{2}$．經(jīng)過驗證都滿足條件．
當t=-2時，方程為（2x-3）²=0，解得x=$\frac{3}{2}$，代入橢圓方程可得：$\frac{3}{4}+{y}^{2}$=1，取y=-$\frac{1}{2}$，可得切點P$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，則$\frac{|\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-m|}{\sqrt{2}}$=2，解得m=2±2$\sqrt{2}$．經(jīng)過驗證都滿足條件．
綜上可得：取點P$（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，m=-2±2$\sqrt{2}$．
取點P$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，m=2±2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相切轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．