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在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2．以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N．

(1)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值；

(2)求點N到平面ACM的距離．

答案：
解析：

　　解法一：，又，則是的中點，故，，

　　則，

　　設(shè)D到平面ACM的距離為，由，有，可求得，

　　設(shè)直線與平面所成的角為，則．

　　(2)可求得PC＝6．因為AN⊥NC，由，得PN．

　　所以．故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的．

　　又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，由⑵可知所求距離為．

　　解法二：(1)如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，， ，，；

　　設(shè)平面的一個法向量，由，

　　可得：，令，則．

　　設(shè)所求角為，則．

　　(2)由條件可得，．在中，，

　　所以，則，，

　　所以所求距離等于點到平面距離的，

　　設(shè)點到平面距離為，則，故所求距離為．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖．在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底    面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB；
（3）求三梭錐D一ECB的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在四棱錐P一ABCD中，二面角P一AD一B為60°，∠PDA=45°，∠DAB=90°，∠PAD=90°，∠ADC=135°，
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P一CD一B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．PA=PD=AD=2，點M在線段PC上 PM=
13
PC
（1）證明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD與底面ABCD垂直，PD=DC，E是PC的中點，作EF于點F（Ⅰ）證明PA平面EBD．

（Ⅱ）證明PB平面EFD．

（Ⅲ）求二面角的余弦值；

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同步練習(xí)冊答案