Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

（x＞-1且x≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）值域；
（3）已知

1

2x+1

＞（x+1）^m對(duì)任意x∈（-1，0）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln(x+1)2

，
所以當(dāng)f′（x）＞0，即ln（x+1）+1＜0，即ln（x+1）＜-1，所以x+1＜

1

e

，即-1＜x＜

1

e

-1，故函數(shù)在區(qū)間（-1，

1

e

-1）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)f′（x）＜0，即

1

e

-1＜x＜0或x＞0，所以函數(shù)在區(qū)間（

1

e

-1，0）和（0，+∞）內(nèi)單調(diào)減．
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-1，

1

e

），單調(diào)減區(qū)間為（

1

e

-1，0）和（0，+∞）．
（2）由f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln(x+1)2

=0可得x=

1

e

-1，
由（1）可得f（x）在（-1，

1

e

-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（

1

e

-1，0）內(nèi)單調(diào)減，
所以在區(qū)間（-1，0）上，當(dāng)x=

1

e

-1時(shí)，f（x）取得極大值即最大值為f（

1

e

-1）=-e．
又因?yàn)楫?dāng)x從-1的右邊靠近-1時(shí)，0＜x+1＜1，所以x→-1時(shí)f（x）→-∞；當(dāng)x從0的左邊靠近0時(shí)，f（x）→-∞；
所以當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）∈（-∞，-e]．
在區(qū)間（0，+∞）上f（x）是減函數(shù)，并且f（x）＞0，
當(dāng)x從0的右邊靠近0時(shí)，f（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，由函數(shù)的解析式可得f（x）→0．
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）∈（0，+∞）．
故f（x）的值域?yàn)椋?∞，-e]∪（0，+∞）
（3）∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，從而1＜

1

x+1

，
由題意可得：

1

2x+1

＞（x+1）^m對(duì)任意x∈（-1，0）恒成立，
所以兩邊取自然對(duì)數(shù)得：

1

x+1

ln2＞mln(x+1)
所以m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

，對(duì)x∈（-1，0）恒成立，則m大于

ln2

(x+1)ln(x+1)

的最大值，
由（2）可得當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

∈（-∞，-e]，
所以

ln2

(x+1)ln(x+1)

取得最大值為-eln2，所以m＞-eln2．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-eln2，+∞）．