Question

5．一個棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的所有棱長之和等于4+4$\sqrt{3}$，棱錐的體積等于

Answer 1

分析 由三視圖知幾何體是一個三棱錐，在對應(yīng)的正方體中作出此三棱錐，利用正方體的長度和位置關(guān)系求出各個棱長，利用分割法和椎體的體積公式求出此三棱錐的體積．

解答 解：由三視圖知幾何體是一個三錐A-BCD，如圖：
圖中的正方體的棱長是2，其中A、B、E、F分別是對應(yīng)邊的中點，C、D是對應(yīng)面的中心，
由圖得，AB⊥平面CDE，AB=CD=2，CF=AE=BE=1，
又BF=$\sqrt{2}$，則BC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即AD=BD=AC=BC=$\sqrt{3}$
所以棱錐的各棱長之和：4+4$\sqrt{3}$，
又DE=EC=BF=$\sqrt{2}$，CD=2，
所以幾何體的體積V=V_A-DEC+V_B-DEC=2×$\frac{1}{3}•{S}_{△DEC}•AE$
=2×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1$=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$4+4\sqrt{3}，\frac{2}{3}$．

點評 本題考查三視圖求幾何體的體積和棱長，此幾何體放在正方體中直觀、容易理解，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．