Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，直線l：y=kx+m（m≠0）與橢圓交與不同的兩點(diǎn)A，B
（1）求橢圓C的方程
（2）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{m}{2}$，求k的值
（3）若以弦AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)M，則直線l是否經(jīng)過定點(diǎn)（除右頂點(diǎn)外）？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和三角形的面積公式及a，b，c的關(guān)系，計(jì)算即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算即可得到k；
（3）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和圓的性質(zhì)，以及垂直的條件，化簡整理，結(jié)合直線恒過定點(diǎn)的求法，即可得到定點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意可得，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又bc=2，
a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）將y=kx+m代入橢圓方程可得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{m}{2}$，
解得k=-1±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由（2）可得△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0
整理得：4k²-m²+2＞0 ①
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
由已知，AM⊥MB，且橢圓的右頂點(diǎn)為M（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即（1+k²）•$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$+（km-2）•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²+4=0，
整理得：3m²+8mk+4k²=0，
解得：m=-2k或m=-$\frac{2}{3}$k，均滿足①
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線l的方程為y=kx-2k，過定點(diǎn)（2，0），舍去．
當(dāng)m=-$\frac{2}{3}$k時(shí)，直線l的方程為y=k（x-$\frac{2}{3}$），過定點(diǎn)（$\frac{2}{3}$，0），
故直線l過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系，具有較大的運(yùn)算量，解題時(shí)要注意韋達(dá)定理的靈活運(yùn)用．