Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1a_n=n+1（n∈N^*）．
（1）試比較a₄-a₂與a₃-a₁的大小，并說明理由；
（2）求證：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥2（$\sqrt{n+1}$-1）

Answer 1

分析 （1）通過a₁=1、a_n+1a_n=n+1，分別計算出a₂、a₃、a₄的值，即可比較大小；
（2）當(dāng)n=1時代入驗證；當(dāng)n≥2時，通過a_n•（a_n+1-a_n-1）=1可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=a_n+1-a_n-1，求和后利用基本不等式即可．

解答 （1）解：∵a₁=1，a_n+1a_n=n+1，
∴a₂=2，a₃=$\frac{3}{2}$，a₄=$\frac{8}{3}$，
∴a₄-a₂=$\frac{8}{3}$-2=$\frac{2}{3}$，a₃-a₁=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
∴a₄-a₂＞a₃-a₁；
（2）證明：當(dāng)n≥2時，有a_na_n-1=n，
∴a_n•（a_n+1-a_n-1）=1，
即$\frac{1}{{a}_{2}}$=a₃-a₁，$\frac{1}{{a}_{3}}$=a₄-a₂，…，$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=a_n-a_n-2，$\frac{1}{{a}_{n}}$=a_n+1-a_n-1，
故$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$+a₃-a₁+a₄-a₂+…+a_n-a_n-2+a_n+1-a_n-1
=$\frac{1}{{a}_{1}}$+a_n+1+a_n-a₂-a₁
=a_n+1+a_n-2
≥$2\sqrt{{a}_{n+1}{a}_{n}}$-2
=2（$\sqrt{n+1}$-1）；
經(jīng)檢驗知當(dāng)n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1＞2（$\sqrt{2}$-1），
綜上所述，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥2（$\sqrt{n+1}$-1）．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，基本不等式等知識，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．