Question

（2013•棗莊一模）已知數列{a_n}中，a₁=1，{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n=a_n+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若存在n∈N*，使得λ≤

n(n+1)

an

，求實數λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意利用an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

可得a_n與a_n-1之間到遞推關系，結合等比數列到通項公式可求a_n
（2）令bn=

n(n+1)

an

，然后進行判斷數列{b_n}的單調性，然后由已知可得，λ≤

n(n+1)

an

 max}_max，可求

解答：解：（1）由題意可得，當n≥2時，2S_n-1=a_n，2s_n=a_n+1
兩式相減可得，2a_n=a_n+1-a_n即a_n+1=3a_n
a₂=2a₁=2
∴{a_n}是從第二項開始到等比數列，公比q=3
n≥2時，an=a2•3n-2=2•3^n-2
∴an=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

（2）令bn=

n(n+1)

an

則n≥2時，bn=

n(n+1)

2•3n-2

b_n+1-b_n=

(n+1)(n+2)

2•3n-1

-

n(n+1)

2•3n-2

=

(n+1)(n+2)-2n

2•3n-1

=

2(n+1)(1-n)

2•3n-1

＜0
當n≥2時，b_n+1＜b_n
{b_n}是從第二項開始的單調遞減數列
而b2=

2×3

2

=3，b1=

1×2

a1

=2
由λ≤

n(n+1)

an

可得，λ≤

n(n+1)

an

 max}_max=3
∴λ的最大值為3

點評：本題主要考查兩利用數列到遞推公式求解數列到通項公式及等比數列到通項公式到應用，數列到單調性在數列到最值項求解中到應用，屬于數列知識的簡單應用