Question

【題目】已知函數(shù)，．

Ⅰ記在上的最大值為M，最小值為m．

若，求a的取值范圍；

證明：；

Ⅱ若在上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

Ⅰ討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，可得最大值，即可得到a的范圍；

討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，求得最值，作差，求得最小值，即可得證；

Ⅱ代入，2的值得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

Ⅰ函數(shù)，其對(duì)稱軸為，且開(kāi)口向上，

，，

，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，

，

的取值范圍為；

證明：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

，，

，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，，

，

當(dāng)時(shí)，，，

，在上為減函數(shù)，

，

；

當(dāng)時(shí)，，，

，在上為增函數(shù)，

，

綜上所述；

Ⅱ在上恒成立，

，即，

故，

解得，

同理，，解得：，

故，

當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)，

，在遞增，

故，

此時(shí)，

故在遞減，

故在上恒成立，

只需，

故．