Question

函數(shù)y=2cos2x+4cosx-1（-

2π

3

≤x≤

π

2

）的值域是______．

Answer 1

由二倍角的余弦公式可得y=2（2cos²x-1）+4cosx-1
=4cos²x+4cosx-3=（2cosx+1）²-4，
∵-

2π

3

≤x≤

π

2

，∴t=cosx∈[-1，1]，
故原函數(shù)可化為y=（2t+1）²-4，
函數(shù)為開口向上，對稱軸為t=-

1

2

的拋物線一段，
故函數(shù)在[-1，-

1

2

]單調(diào)遞減，在[-

1

2

，1]單調(diào)遞增，
故當t=-

1

2

時，函數(shù)取最小值y_min=-4，
當t=1時，函數(shù)取最大值y_max=5
故函數(shù)的值域為[-4，5]
故答案為：[-4，5]