Question

(19)如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

(Ⅰ)設(shè)E是DC的中點(diǎn)，求證：D₁E∥平面A₁BD；

(Ⅱ)求二面角A₁-BD-C₁的余弦值.

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)連結(jié)BE，則四邊形DABE為正方形，

∴BE=AD=A₁D₁，且BE∥AD∥A₁D₁，

∴四邊形A₁D₁EB為平行四邊形.

∴D₁E∥A₁B.

又D₁E平面A₁BD，A₁B平面A₁BD，

∴D₁E∥平面A₁BD.

(Ⅱ)以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)DA=1，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C₁(0，2，2)，A₁(1，0，2)，

∴=(1，0，2)  =(1，1，0).

設(shè)n=(x，y，z)為平面A₁BD的一個(gè)法向量

由n⊥，n⊥

得

取z=1，則n=(-2，2，1)

又=(0，2，2)，=(1，1，0)，

設(shè)m=(x₁，y₁，z₁)為平面C₁BD的一個(gè)法向量，

由m⊥，m⊥

得

取z₁=1，則m=(1，-1，1).

設(shè)m與n的夾角為α,二面角A₁-BD-C₁為θ，顯然θ為銳角.

∴cosα=.

∴cosθ=.

即所求二面角A₁-BD-C₁的余弦為.

解法二：

(Ⅰ)以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DA=a，由題意知：

D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，2a，0)，C₁(0，2a，2a)，A₁(a，0，2a)，D₁(0，0，2a)，E(0，a，0)，

∴=(0，a，-2a)，=(a，0，2a)，=(a，a，0)

又(0，a，-2a)=(a，a，0)-(a，0，2a)，

∴，

∵DA₁，DB平面A₁BD，D₁E平面A₁BD.

∴D₁E∥平面A₁BD.

(Ⅱ)取DB的中點(diǎn)F，DC₁的中點(diǎn)M，連結(jié)A₁F，F(xiàn)M，

由(Ⅰ)及題意得知：

F(，，0)，M(0，a，a)，

∴.

=(，，2a)·(a，a，0)=0，

=(，，a)·(a，a，0)=0.

∴FA₁⊥DB，F(xiàn)M⊥DB.

∴∠A₁FM為所求二面角的平面角.

∴cos∠A₁FM===.

所以二面角A₁-BD-C₁的余弦值為.

解法三：

(Ⅰ)證明：如解法一圖，連結(jié)AD₁，AE，

設(shè)AD₁∩A₁D=G，AE∩BD=F，連結(jié)GF，

由題意知G是A₁D的中點(diǎn)，又E是CD的中點(diǎn)，

∴四邊形ABED是平行四邊形，故F是AE的中點(diǎn)，

∴在△AED₁中，GF∥D₁E.

又GF平面A₁BD，D₁E平面A₁BD.

∴D₁E∥平面A₁BD.

(Ⅱ)如圖，在四邊形ABCD中，設(shè)AD=α

∵AB=AD，AD⊥DC，AB∥DC

∴AD⊥AB.

故BD=a，由(Ⅰ)得

BC²=BE²+EC²=a²+a²=2a²，DC=2a，

∴∠DBC=90°，即BD⊥BC.

又BD⊥BB₁，

∴BD⊥平面BCC₁B₁，又BC₁平面BCC₁B₁，

∴BD⊥BC₁

取DC₁的中點(diǎn)M，連結(jié)A₁F，F(xiàn)M，

由題意知：∴FM∥BC₁，

∴FM⊥BD.

又A₁D=A₁B，∴A₁F⊥BD.

∴∠A₁FM為二面角A₁-BD-C₁的平面角.

連結(jié)A₁M，在△A₁FM中.

由題意知：

A₁F=a，F(xiàn)M=BC₁=a，

取D₁C₁的中點(diǎn)H，連結(jié)A₁H，HM，

在Rt△A₁HM中.

∵A₁H=a，HM=a，

∴A₁M=.

∴cos∠A₁FM===.

∴二面角A₁-BD-C₁的余弦值為.