Question

9．已知f（x）=x²+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），求h（t）的解析式．

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）=x²+3x-5的圖象的對稱軸方程為x=-1.5，且x∈[t，t+1]，分類討論求出f（x）的最小值．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=x²+3x-5的圖象的對稱軸方程為x=-1.5，x∈[t，t+1]，
當t＞-1.5時，函數(shù)f（x）=x²+3x-5在區(qū)間[t，t+1]上單調遞增，f（x）的最小值為h（t）=f（t）=t²+3t-5．
當-1.5∈[t，t+1]時，即-2.5≤t≤-1.5時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，-1.5]上單調遞減，在區(qū)間[-1.5，t+1]上單調遞增，f（x）的最小值為h（t）=f（-1.5）=-7.25．
當t+1＜-1.5，即t＜-2.5時，函數(shù)f（x）=x²-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，
f（x）的最小值為h（t）=f（t+1）=（t+1）²+3（t+1）-5=t²+5t-1．
綜上可得，h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+5t-1，t＜-2.5}\\{-7.25，-2.5≤t≤-1.5}\\{{t}^{2}+3t-5，t＞-1.5}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質，函數(shù)的單調性，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．