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對于一切n∈N且n≥2, 若x＞-1且x≠0, 則 (1+x)n＞1+nx

(    )

答案：T
解析：

 證明:(1)當n＝2時, 左邊＝(1+x)2＝1+2x+x2, 右邊＝1+2x.

        ∵  x≠0, x2＞0,

        ∴  1+2x+x2＞1+2x, 不等式成立.

     (2)假設(shè)n＝k(k≥2)時不等式成立.

        即  (1+x)k＞1+kx   …①   

        ∵  x＞-1, ∴ x+1＞0 ,

        ①式兩邊同乘以(x+1)得:

          (1+x)k+1＞(1+kx)(1+x)

        ＝1+(k+1)x+kx2＞1+(k+1)x

        ∴  當n＝k+1時,不等式仍然成立.

      根據(jù)(1),(2),

      ∴  對于一切n∈N且n≥2, 命題成立.


提示：

∵ x＞-1, ∴ x+1＞0, 

∴(x+1)k·(x+1)＞(1+kx)(x+1)


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{xn}是公差不為0的等差數(shù)列，{yn}是等比數(shù)列，其中x1=1，且x1=y1，x2=y2，x6=y3，是否存在常實數(shù)a和b，使得對于一切n∈N*，都有xn=logayn+b？若存在，求出a和b的值；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項為a1，且1，an，Sn等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)Tn為數(shù)列{
n
an
}的前n項和，若對于一切n∈N*，總有Tn＜
m-4
3
成立，其中m∈N*，求m的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知各項均不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=c，2Sn=anan+1+r．
（1）若r=-6，數(shù)列{an}能否成為等差數(shù)列？若能，求c滿足的條件；若不能，請說明理由．
（2）設(shè)Pn=
a1
a1-a2
+
a1
a1-a2
+
a3
a3-a4
+…
a2n-1
a2n-1-a2n
，Qn=
a2
a2-a3
+ +
a4
a4-a5
+…
a2n
a2n-a2n+1
，若r＞c＞4，求證：對于一切n∈N*，不等式-n＜Pn-Qn＜n2+n恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x(x2+3)
3x2+1
，數(shù)列{an}滿足對于一切n∈N*有an＞1，且an+1=f（an）．數(shù)列{bn}滿足，bn=
1
loga(ln
an-1
an+1
)
（a＞0且a≠1）設(shè)k，l∈N*，bk=
1
1+3l
，bl=
1
1+3k
．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{ln
an-1
an+1
}為等比數(shù)列，并指出公比；
（Ⅱ）若k+l=5，求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅲ）若k+l=M0（M0為常數(shù)），求數(shù)列{abn}從第幾項起，后面的項都滿足abn＞1．

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