Question

已知點A（﹣1，0），B（1，0），動點P（x，y）滿足：PA與PB的斜率之積為3．設(shè)動點P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）記點F（﹣2，0），曲線E上的任意一點C（x₁，y₁）滿足：x₁＜﹣1，x₁≠﹣2且y₁＞0，設(shè)∠CFB=α，∠CBF=β．
①求證：tanα=tan2β；
②設(shè)過點C的直線與軌跡E相交于另一點D（x₂，y₂）（x₂＜﹣1，y₂＜0），若
∠FCB與∠FDB互補，求實數(shù)b的值．

Answer 1

解：（1）∵點A（﹣1，0），B（1，0），動點P（x，y），
∴ ， ，
∵PA與PB的斜率之積為3，
∴ ，x≠±1，
∴ ．
（2）①∵∠CFB=α，∠CBF=β，β為銳角，
∵tanα= ，tanβ= ， ，
∴tan2β= = = =tanα．
②由題意C（x₁，y₁），y₁＞0，D（x₂，y₂），y₂＜0，
聯(lián)立 ，得2y²+6by﹣9b²+9=0，
則△=36b²﹣4×2（﹣9b²+9）＞0，
∴ ， y₁+y₂=﹣3b， ，
∴b²＞1．故y₂﹣y₁=﹣3b， ，
∴b²＞1，故 ，
設(shè)∠DFB=γ，∠DBF=θ，
∵ ，tan ， ，
∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，
∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），
∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，
∵α，2β∈（0，π），
∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，
又∠DFB=2∠DBF，
∴∠FCB與∠FDB互補，即∠FCB+∠FDB=π，
∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，則 ，
由到角公式，得 = ， ∴ = ，
即 ，
∴4b+4=﹣ ，解得b=﹣ ，滿足b²＞1，
∴b=﹣ ．