Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c，給出下列4個命題：
①b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實數(shù)根；
②c=0時，y=f（x）是奇函數(shù)；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）對稱；
④方程f（x）=0至多有2個不相等的實數(shù)根．
上述命題中的所有正確命題的序號是①②③．

Answer 1

分析 ①，將b的值代入，可得f（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的圖象變化的規(guī)律，可得其正確；
②，將c的值代入，可得f（x）的解析式，進(jìn)而由奇函數(shù)判斷方法，求有f（-x）與-f（x）的關(guān)系，分析可得其正確；
③，由②可得函數(shù)f（x）=|x|x+bx的奇偶性，進(jìn)行圖象變化可得其正確；
④，舉反例|x|x-5x+6=0有三個解-6、2、3，可得其錯誤．

解答 解：①當(dāng)b=0，c＞0時，f（x）=|x|x+c=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+c\\-{x}^{2}+c\end{array}$，結(jié)合圖形知f（x）=0只有一個實數(shù)根，故①正確；
②當(dāng)c=0時，f（x）=|x|x+bx，有f（-x）=-f（x）=-|x|x-bx，故y=f（x）是奇函數(shù)，故②正確；
③y=f（x）的圖象可由奇函數(shù)f（x）=|x|x+bx，向上或向下平移|c|而得到，y=f（x）的圖象與y軸交點為（0，c），故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（0，c）對稱，故③正確；
④當(dāng)b=-5，c=6時，方程|x|x-5x+6=0有三個解-6、2、3，即三個零點，故④錯誤；
故答案為：①②③．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的零點、對稱性、奇偶性等知識點，注意結(jié)合函數(shù)的圖象與圖象的變化進(jìn)行分析．