Question

已知三棱錐P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D、F分別為AC、PC的中點(diǎn),DE⊥AP于點(diǎn)E.

(1)求證:AP⊥平面BDE;

(2)求證:平面BDE⊥平面BDF;

(3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分的體積比.

Answer 1

(1)證明：∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,

∴PC⊥BD.

    由AB=BC,D為AC的中點(diǎn),得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.

    又PA平面PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,

∴AP⊥平面BDE.

(2)證明：由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn),得DF∥AP.

    由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF.BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.

    又∵DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF.

(3)解：設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h₁和h₂,則h₁∶h₂=EP∶AP=2∶3,

∴.

    故截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1.