Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{2}$-x），給出下列四個(gè)說法：
①若x₁=-x₂，則f（x₁）=-f（x₂）；       
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)；       
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對稱．
其中正確說法的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x）=cosxsinx為：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，利用奇函數(shù)判斷①的正誤；周期公式可求周期判斷②的正誤；利用單調(diào)性判斷③，對稱性判斷④的正誤即可．

解答 解：f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{2}$-x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，
因?yàn)樗�是奇函�?shù)，f（x₁）=f（-x₂）=-f（x₂），所以①正確；
∵f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}=π$，②不正確；
③利于2k$π-\frac{π}{2}$≤2x≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)；正確；
④當(dāng)x=$\frac{3π}{4}$時(shí)f（x）取得了最小值，故x=$\frac{3π}{4}$是對稱軸，所以正確．
故選：B．

點(diǎn)評 本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)式的化簡，基本函數(shù)的性質(zhì)，掌握基本函數(shù)的性質(zhì)是本題解答的根據(jù)，強(qiáng)化基本知識(shí)的學(xué)習(xí)，才能提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．