Question

若函數(shù)f（x）=cos2x+acosx（x∈R）的最小值為-4，則a 的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由二倍角公式可得f（x）=cos2x+acosx=2cos²x+acosx-1，令t=cosx，則-1≤t≤1，則f（t）=2t²+at-1=2（）-1
=，要求函數(shù)在[-1，1]上最小值，則需要討論對稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置關系，分別求解即可
解答：解：∵f（x）=cos2x+acosx=2cos²x+acosx-1
令t=cosx，則-1≤t≤1，f（t）=2t²+at-1=2（）-1
=
①當即a≥4時，t=-1時函數(shù)有最小值f（-1）=1-a=-4
∴a=5
②當-≥1即a≤-4時，t=1時，函數(shù)有最小值f（1）=1+a=-4
∴a=-5
③當＜1即-4＜a＜4時，t=-時，函數(shù)有最小值f（-）=-1-
∴a=（舍去）
綜上可得a=±5
故答案為：±5
點評：本題主要考查了二倍角的余弦公式的應用，換元法求解函數(shù)的值域，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求解，注意分類討論思想的應用