Question

【題目】已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線(xiàn)為軸建立直角坐標(biāo)系.過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn).

（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，并寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的另一條直線(xiàn)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1），（為參數(shù)）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)轉(zhuǎn)化公式，直接轉(zhuǎn)化，并且根據(jù)公式直接寫(xiě)成直線(xiàn)的參數(shù)方程；

（2）直線(xiàn)的參數(shù)方程代入（1）的曲線(xiàn)方程；利用的幾何意義表示

再根據(jù)對(duì)稱(chēng)求的參數(shù)方程，同理可得，再證明結(jié)論.

（1）由得，∴為曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，

由作傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（2）將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得：

，顯然，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，

則，∴，

由于直線(xiàn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立同理可得：，

∴，故得證.