Question

13．如圖，矩形FCEB是圓柱OO₁的軸截面，且FC=1，FB=2，點A、D分別在上下底面圓周上，且在面FCEB的同側，△OAB是等邊三角形，∠ECD=60°，M、N分別是OC、AE的中點．
（1）求證：MN∥面CDE；
（2）求二面角C-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由∠ECD=∠BOA=60°，得OA∥CD，且OA=CD，從而四邊形CDAO是平行四邊形，取AD中點G，連結MG、NG，推導出平面MGN∥面CDE，由此能證明MN∥面CDE．
（2）以C為原點，在平面CDE是過C作CE的垂線為x軸，CE為y軸，CF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-AD-E的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，由∠ECD=∠BOA=60°，得OA∥CD，且OA=CD，
∴四邊形CDAO是平行四邊形，
取AD中點G，連結MG、NG，則MG∥CD，NG∥DE，MG∩NG=G，
∴平面MGN∥面CDE，
∵MN?面MNG，∴MN∥面CDE．
解：（2）以C為原點，在平面CDE是過C作CE的垂線為x軸，CE為y軸，CF為z軸，建立空間直角坐標系，
∵FC=1，FB=2，∴C（0，0，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1），E（0，2，0），
$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{DA}$=（0，1，1），$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
設平面CAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-3，3$），
同理，得到平面ADE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），
設二面角C-AD-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{21}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{105}}{35}$，
∴二面角C-AD-E的余弦值為$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．