Question

（2012•泉州模擬）設f(x)=

ex

1+ax2

，其中a為正實數(shù)．
（1）當a=

4

3

時，求f（x）的極值點；
（2）若f（x）為[

1

2

， 

3

2

]上的單調函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=

4

3

代入f(x)=

ex

1+ax2

，對f（x）進行求導，令f′（x）=0，解出其極值點；
（2）已知f（x）上的為單調函數(shù)，可知f′（x）在[

1

2

， 

3

2

]恒大于等于0，或恒小于等于0，利用求出a的取值范圍．

解答：解：∵f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
（1）當a=

4

3

時，若f'（x）=0，
則4x2-8x+3=0⇒x1=

1

2

， x2=

3

2

，

x	(-∞， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，  3 2 )	3 2	( 3 2 ， +∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴x1=

1

2

是極大值點，x2=

3

2

是極小值點；　　　　
（2）記g（x）=ax²-2ax+1，則g（x）=a（x-1）²+（1-a），
∵f（x）為[

1

2

， 

3

2

]上的單調函數(shù)，
則f'（x）在[

1

2

， 

3

2

]上不變號，
∵

ex

(1+ax2)2

＞0，
∴g（x）≥0或g（x）≤0對x∈[

1

2

， 

3

2

]恒成立，
由g（1）≥0或g(

1

2

)≤0⇒0＜a≤1或a≥

4

3

，
∴a的取值范圍是0＜a≤1或a≥

4

3

．

點評：此題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，解此題的關鍵是對f（x）能夠正確求導，利用了轉化的思想，是一道中檔題；