Question

偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時，f（x）=x，則關(guān)于x的方程f（x）=，在x∈[0，4]上解的個數(shù)是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）的周期，再利用函數(shù)與方程思想把問題轉(zhuǎn)化，畫出函數(shù)的圖象，即可求解．
解答：解：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函數(shù)的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）．
又∵x∈[0，1]時，f（x）=x，函數(shù)的周期為2，
∴原函數(shù)的對稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
設(shè) y₁=f（x），y₂=，
方程f（x）= 根的個數(shù)，
即為函數(shù)y1=f（x），y₂=的圖象交點的個數(shù)．
由以上條件，可畫出y₁=f（x），y₂=的圖象：
又因為當(dāng)x=1時，y₁＞y₂，∴在（0，1）內(nèi)有一個交點．
∴結(jié)合圖象可知，在[0，4]上y₁=f（x），y₂=共有4個交點．
∴在[0，4]上，原方程有4個根．
故選D．
點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想．轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．