Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為6為正方形，PA=PD，
PA⊥平面PDC，E為棱PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）連接BD與AC相交于點(diǎn)O，連接EO．先證PB∥OE，再由線線平行證明線面平行；
（II）由已知PA⊥平面PDC，由面面垂直的判定定理可證面面垂直；
（III）取AD中點(diǎn)F，連接PF，由PA=PD，得PF⊥AD．可證PF為四棱錐的高，求出PF，利用棱錐的體積公式計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接BD與AC相交于點(diǎn)O，連接EO．
∵四邊形ABCD為正方形，∴O為BD中點(diǎn)．
∵E為棱PD的中點(diǎn)，∴PB∥EO．
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC．
（Ⅱ）證明：PA⊥平面PDC，∴PA⊥CD．          
∵四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．                      
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：取AD中點(diǎn)F，連接PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，
又∵PA⊥平面PDC，∴PA⊥PD，∴△PAD為等腰直角三角形．
∵AD=6，∴PF=3．
∴VP-ABCD=

1

3

AB•AD•PF=

1

3

×6×6×3=36．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)及面面垂直的判定，考查了棱錐的體積公式，考查了學(xué)生的推理論證能力，綜合性強(qiáng)．