Question

19．已知f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）．現(xiàn)有下列命題：①f（-x）=f（x）；②f（$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$）=2f（x）；③|f（x）|≥2|x|．其中的所有正確命題的序號是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，分別判斷三個結(jié)論的真假，最后綜合判斷結(jié)果，可得答案．

解答 解：∵f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）．
∴f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），故①錯誤；
f（$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$）=ln（1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$）-ln（1-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$）
=ln$\frac{（x+1）^{2}}{{x}^{2}+1}$-ln$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}+1}$
=ln$\frac{\frac{{（x+1）}^{2}}{{x}^{2}+1}}{\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}+1}}$
=ln$\frac{{（x+1）}^{2}}{{（x-1）}^{2}}$
=ln（1+x）²-ln（1-x）²
=2[ln（1+x）-ln（1-x）]
=2f（x），故②正確；
當x∈[0，1）時，|f（x）|≥2|x|?f（x）-2x≥0，令g（x）=f（x）-2x=ln（1+x）-ln（1-x）-2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1-x}$-2=$\frac{2{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$≥0，
∴g（x）在[0，1）單調(diào)遞增，g（x）=f（x）-2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）與y=2x為奇函數(shù)，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正確；
故正確的命題有②③，
故答案為：②③

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，代入法求函數(shù)的解析式等知識點，難度中檔．