Question

【題目】法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)購(gòu)買一個(gè)面包，面包師聲稱自己出售的每個(gè)面包的平均質(zhì)量是1000，上下浮動(dòng)不超過50.這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000，標(biāo)準(zhǔn)差為50的正態(tài)分布.

（1）假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，從面包師出售的面包中任取兩個(gè)，記取出的兩個(gè)面包中質(zhì)量大于1000的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）作為一個(gè)善于思考的數(shù)學(xué)家，龐加萊每天都會(huì)將買來(lái)的面包稱重并記錄，25天后，得到數(shù)據(jù)如下表，經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包總質(zhì)量為24468.龐加萊購(gòu)買的25個(gè)面包質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：）

981	972	966	992	1010	1008	954	952	969	978
989	1001	1006	957	952	969	981	984	952	959
987	1006	1000	977	966

盡管上述數(shù)據(jù)都落在上，但龐加菜還是認(rèn)為面包師撒謊，根據(jù)所附信息，從概率角度說明理由

附：

①若，從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)，記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可知：隨機(jī)變量

②若，則，，；

③通常把發(fā)生概率在0.05以下的事件稱為小概率事件.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；期望為1（個(gè)）（2）詳見解析

【解析】

（1）由題意知，的所有可能取值為0，1，2.可求得；；.從而可求得的分布列和其數(shù)學(xué)期望.

（2）記面包師制作的每個(gè)面包的質(zhì)量為隨機(jī)變量X.假設(shè)面包師沒有撒謊，則.由附①，從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)，記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則.可求得這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，而由由附②數(shù)據(jù)知，，由附③知，事件“”為小概率事件，可得結(jié)論.

（1）由題意知，的所有可能取值為0，1，2.

；；

.所以的分布列為：

	0	1	2
P

所以（個(gè)）.

（2）記面包師制作的每個(gè)面包的質(zhì)量為隨機(jī)變量X.

假設(shè)面包師沒有撒謊，則.

根據(jù)附①，從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)，記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，

則.

龐加萊記錄的25個(gè)面包質(zhì)量，相當(dāng)于從X的取值中隨機(jī)抽取了25個(gè)數(shù)據(jù)，

這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，

由附②數(shù)據(jù)知，，

由附③知，事件“”為小概率事件，

所以“假設(shè)面包師沒有撒謊”有誤，

所以龐加萊認(rèn)為面包師撒謊.