Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ，S_n=a₁+4a₂+4²a₃+…+4^n-1a_n，類(lèi)比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求得5S_n-4ⁿa_n=n．

Answer 1

分析 先對(duì)S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 兩邊同乘以4，再相加，求出其和的表達(dá)式，整理即可求出5S_n-4ⁿa_n的表達(dá)式．

解答 解：由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×$\frac{1}{4}$+4²•（$\frac{1}{4}$）²+…+4 ^n-1•（$\frac{1}{4}$）^n-1+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n，
故答案為：n．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的求和，用到了類(lèi)比法，關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法的理解和掌握．