Question

已知函數(shù)f（x）=x²﹣ax+a（a∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0 的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=f（n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設各項均不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_i﹣c_i+1＜0的正整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{c_n}的變號數(shù)，令c_n=1﹣（n為正整數(shù)），求數(shù)列{c_n}的變號數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，
∴△=a²﹣4a=0
∴a=0或4，
當a=0時，函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立；
當a=4時，函數(shù)f（x）=x²﹣4x+4在（0，2）上遞減，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
綜上，得a=4，f（x）=x²﹣4x+4，∴S_n=n²﹣4n+4
n≥2 時，a_n=S_n﹣S_n﹣1=2n﹣5，n=1 時，a₁=1
∴a_n=
（2）∵c_n=1﹣，
∴
∵n≥3時，C_n+1﹣C_n=＞0，
∴n≥3時，數(shù)列{c_n}遞增，
∵a₄=﹣＜0，由＞0
n≥5，可知a₄﹣a₅＜0，即n≥3時，有且只有1個變號數(shù)；
又∵C₁=﹣3，C₂=﹣5，C₃=﹣3，即C₁﹣C₂＜0，C₂﹣C₃＜0，
∴此處變號數(shù)有2個．
綜上得數(shù)列共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3．