Question

6．直線y=kx+3與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的k值有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立可消去y得到關(guān)于x的方程（5-9k²）x²-54kx-126=0（1），5-9k²=0時(shí)，可求出k=$±\frac{\sqrt{5}}{3}$，此時(shí)方程（1）只有一個(gè)解，從而直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，而5-9k²≠0時(shí)，要使直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，需△=54²k²+4（5-9k²）•126=0，可解出k，從而便可得出滿足條件的k值的個(gè)數(shù)．

解答 解：y=kx+3帶入$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$并整理得：
（5-9k²）x²-54kx-126=0（1）；
①若5-9k²=0，即k=$±\frac{\sqrt{5}}{3}$，此時(shí)方程（1）只有一個(gè)解；
∴滿足直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
②若5-9k²≠0，解△=54²k²+4（5-9k²）•126=0得：$k=±\frac{\sqrt{14}}{3}$；
此時(shí)方程（1）只有一個(gè)解；
即滿足直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
∴滿足條件的k值有4個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查直線方程和雙曲線方程形成方程組解只有一個(gè)時(shí)對(duì)應(yīng)的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，以及一元二次方程只有一個(gè)解時(shí)，判別式△的取值情況．