Question

6．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*都有S_n=2a_n+n-4，
（1）求數列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃；
（2）猜想數列{a_n}的通項公式a_n，并用數學歸納法證明；
（3）求證：對任意n∈N^*都有$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}-{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3列方程計算；
（2）根據（1）的計算結果猜想，驗證n=1時，猜想是否成立，假設n=k時猜想成立，推導a_k+1．
（3）計算a_n+1-a_n，然后使用等比數列的求和公式計算．

解答 解：（1）令n=1得，S₁=2a₁-3，即a₁=2a₁-3，∴a₁=3；
令n=2得，S₂=2a₂-2，即a₁+a₂=2a₂-2，∴a₂=5；
令n=3得，S₃=2a₃-1，即a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=9；
（2）猜想：a_n=2ⁿ+1，
證明：①當n=1時，結論顯然成立；
②假設當n=k時結論成立，即a_k=2^k+1，∴S_k=2a_k+k-4=2（2^k+1）+k-4=2^k+1+k-2．
∴S_k+1=2^k+2+k-1．
∴a_k+1=S_k+1-S_k=（2^k+2+k-1）-（2^k+1+k-2）=2^k+1+1．
即當n=k+1時結論成立．
綜合①②可知，猜想a_n=2ⁿ+1對任意n∈N^*都成立．
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ+1．
（3）∵a_n=2ⁿ+1，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}-{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
∴對任意n∈N^*都有$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}-{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$＜1．

點評 本題考查了數學歸納法的證明，等比數列的性質，屬于中檔題．