Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，，BC=4．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求直線AB與平面PDC所成的角；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，，若DE∥平面PAB，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：如圖，在平面ABCD內(nèi)過D作直線DF∥AB，交BC于F，分別以DA、DF、DP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）只要證明，即可得到BD⊥PC；
（2）由（1）即可得到平面PDC的法向量為，求出，求出向量與的夾角，即可得到線面角；
（3）先求出平面PAB的法向量，若DE∥平面PAB，則，即可得出λ．
解答：解：如圖，在平面ABCD內(nèi)過D作直線DF∥AB，交BC于F，分
別以DA、DF、DP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）證明：設(shè)PD=a，得B，P（0，0，a），C，
則，
∵，
∴BD⊥PC．
（2）由（1）知．
由條件知A（1，0，0），B（1，，0），．
設(shè)AB與面PDC所成角大小為θ，
則．
∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，
即直線AB與平面PDC所成角為60°．
（3）由（2）知C（-3，，0），記P（0，0，a），
則，，，，
而，∴，
==．
設(shè)為平面PAB的法向量，則，即，即．
取z=1，得x=a，進(jìn)而得，
由DE∥平面PAB，得，∴-3aλ+a-aλ=0，而a≠0，∴．
點(diǎn)評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、平面PDC的法向量為與斜線的夾角得到線面角、DE∥平面PAB?等是解題的關(guān)鍵．