Question

已知函數(shù)f(x)=ax³-3x²+1-,

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若曲線y=f(x)上兩點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

思路分析：導(dǎo)函數(shù)的幾何意義在討論函數(shù)的基本性質(zhì)方面有很大的作用.對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論是本題的易錯(cuò)點(diǎn)，解題時(shí)應(yīng)當(dāng)理清思路，避免錯(cuò)誤.

解：（1）由題設(shè)知 a≠0,f′(x)=3ax²-6x=3ax(x-).

令f′(x)=0得x₁=0,x₂=.

當(dāng)a＞0時(shí)，若x∈（-∞，0），則f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（-∞，）上是增函數(shù)；若 x∈（0，），則f′（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)；若x∈（，+∞），則f′（x）＞0，所以 f（x）在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)a＜0時(shí)，若x∈（-∞，），則f′（x）＜0，所以f′（x）在區(qū)間（-∞，）上是減函數(shù)；若 x∈（0，)，則f′（x）＜0，所以f（x） 在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)；若x∈（，0），則f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（，0）上是增函數(shù)；若x∈（0，+∞），則f′(x)＜0，所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).

（2）由（1）的討論及題設(shè)知，曲線y=f(x)上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)y=f(x)在x=0,x=處分別是取得極值f(0)=1-，f（）=+1.

因?yàn)榫�段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以f（0）·f（）≤0.

即（+1）（1-）≤0.所以≤0.

故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0.

解得  -1≤a＜0或3≤a≤4.即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].